.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
.jpg)
ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑΣ
1.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της ΑΓ. Στην προέκταση της ΒΜ, παίρνουμε σημείο Μ τέτοιο, ώστε ΖΜ=ΜΒ. Να αποδείξετε ότι ΑΖ=ΒΓ .
2.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο, ώστε ΑΓ=2ΑΒ. Αν ΑΔ διχοτόμος της γωνίας Α και Ε μέσο της ΑΓ, να αποδείξετε ότι:
(α) ΑΒ=ΑΕ,
(β) Το ΑΔ είναι κάθετο στο ΒΕ,
(γ) ΔΒ=ΔΕ .
3.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΔ=ΜΕ .
4.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ παίρνουμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΔ=ΑΕ. Αν Ζ είναι τυχαίο σημείο της ΑΜ, να αποδείξετε ότι η ΑΖ διχοτομεί τη γωνία ΕΖΔ.
5.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και το ΑΔ ύψος του. Στις προεκτάσεις των ίσως πλευρών ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, τέτοια, ώστε ΒΕ=ΓΖ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΖ είναι ισοσκελές.
6.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α. Από την κορυφή Β φέρουμε ΒΖ κάθετη προς την ΑΔ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι η ΑΔ διχοτομεί τη γωνία ΒΔΕ.
7.
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α: ορθή γωνία) και Μ το μέσο της ΒΓ. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά ΜΔ έτσι, ώστε ΜΔ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι:
(α) τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΑΜΓ είναι ίσα,
(β) τα τρίγωνα ΜΔΓ και ΑΒΜ είναι ίσα,
(γ) τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ και ΔΓ είναι κάθετα.
8.
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Προεκτείνουμε το ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ ίσο με ΑΔ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΕΓ είναι ίσα.
9.
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΓΒ παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο, ώστε ΒΔ=ΑΒ και στην προέκταση της ΒΓ σημείο Ε τέτοιο, ώστε ΓΕ=ΑΓ. Επιπλέον, οι διχοτόμοι των γωνιών ΑΒΔ και ΑΓΕ τέμνουν τις ΑΔ και ΑΕ στα σημεία Ζ και Θ αντίστοιχα.
(α)
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που ορίζουν τα Β,Ζ και τα Γ,Θ είναι μεσοκάθετες των ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα.
(β)
Αν Ι είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών ΑΒΔ και ΑΓΕ, τότε να αποδείξετε ότι:
(i) το τρίγωνο ΑΔΙ είναι ισοσκελές,
(ii) το τρίγωνο ΔΙΕ είναι ισοσκελές,
(iii) το ΙΑ διχοτομεί τη γωνία ΒΑΓ.
10.
Θεωρούμε κύκλο με κέντρο Κ. Από εξωτερικό σημείο Σ του κύκλου φέρουμε δύο ευθείες οι οποίες τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Α,Β και Γ,Δ αντίστοιχα τέτοιες, ώστε ΣΒ=ΣΔ. Να αποδείξετε ότι:
(α) Η ΣΚ είναι διχοτόμος της ΔΣΒ,
(β) ΑΒ = ΓΔ,
(γ) ΣΑ = ΣΓ .
11.
Θεωρούμε κύκλο (Ο,ρ) και ίσες μη παράλληλες χορδές ΑΒ και ΓΔ, των οποίων η προεκτάσεις τέμνονται στο Μ. Αν ΟΚ και ΟΛ τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) ΑΚ = ΓΛ ,
(β) ΜΑ = ΜΓ και ΜΒ = ΜΔ ,
(γ) η ΜΟ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΜΓ,
(δ) η ευθεία που διέρχεται από τα Μ και Ο είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ .
12.
Έστω κύκλος κέντρου Ο και ΑΒ, ΓΔ δύο ίσες και μη τεμνόμενες χορδές του. Έστω Μ και Ν σημεία στις χορδές ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, τέτοια, ώστε ΑΜ=ΓΝ. Να αποδείξετε ότι ΟΜ=ΟΝ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΠΡΟΚΛΗΣΕΙΣ
1.
Έστω τρία μη συνευθειακά σημεία στο επίπεδο. Να βρεθεί το πλήθος των ευθειών που ισαπέχουν από τα σημεία αυτά.
2.
Έστω τέσσερα μη συνεπίπεδα σημεία στο χώρο. Να βρεθεί το πλήθος των επιπέδων που ισαπέχουν
από τα τέσσερα αυτά σημεία.
ΛΥΣΗ
ΛΥΣΗ
3.
Έστω τέσσερα μη συνευθειακά σημεία στο επίπεδο, τα οποία δεν ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Πόσες ευθείες και πόσοι κύκλοι υπάρχουν που ισαπέχουν από τα τέσσερα αυτά σημεία;
(Ως απόσταση ενός σημείου Π από έναν κύκλο (C) με κέντρο O, εννοούμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΠΡ, όπου Ρ είναι το σημείο τομής της ημιευθείας ΟΠ με τον κύκλο (C).)
(Ως απόσταση ενός σημείου Π από έναν κύκλο (C) με κέντρο O, εννοούμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΠΡ, όπου Ρ είναι το σημείο τομής της ημιευθείας ΟΠ με τον κύκλο (C).)
4.
Έστω πέντε μη συνεπίπεδα σημεία στο χώρο, τα οποία δεν ανήκουν στην επιφάνεια της ίδιας σφαίρας. Πόσα επίπεδα και πόσες σφαίρες υπάρχουν που ισαπέχουν από τα πέντε αυτά σημεία;
(Ως απόσταση ενός σημείου Π από μία σφαίρα (Σ) με κέντρο Ο, εννοούμε το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΠΡ, όπου Ρ το σημείο τομής της ημιευθείας ΟΠ με τη σφαίρα (Σ).)
5.
Πόσες σφαίρες εφάπτονται στα επίπεδα των εδρών ενός τετραέδρου;
6.
Έστω ότι διαθέτουμε έξι διαφορετικά χρώματα και θέλουμε να χρωματίσουμε κάθε μία από τις έδρες ενός κύβου με διαφορετικό χρώμα. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό;
(Θεωρούμε ότι δύο χρωματισμοί του κύβου είναι ίδιοι, όταν ο ένας μπορεί να προκύψει από τον άλλον με κατάλληλη περιστροφή του κύβου.)
7.
Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χωρίσουμε 33 αγόρια σε 3 ποδοσφαιρικές ομάδες των 11 παικτών η κάθε μία;
8.
Ένα μαγαζί πουλάει 11 διαφορετικές γεύσεις παγωτού. Ένας πελάτης θέλει να αγοράσεις 6 παγωτά "χωνάκι" με μία μπάλα το καθένα, χωρίς απαραίτητα να είναι διαφορετικής γεύσης το ένα με το άλλο. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να το κάνει;
9.
Μία ομάδα 11 επιστημόνων δουλεύει πάνω σε ένα μυστικό πρόγραμμα, το υλικό του οποίου φυλάσσεται σε χρηματοκιβώτιο. Αν οι πλειοψηφία των επιστημόνων είναι παρόντες, επιτρέπεται να ανοίξουν το χρηματοκιβώτιο. Πάνω σε αυτό υπάρχουν διαφορετικές κλειδαριές και σε κάθε επιστήμονα δίνονται τα κλειδιά συγκεκριμένων κλειδαριών. Πόσες κλειδαριές χρειάζονται και πόσα κλειδιά πρέπει να έχει κάθε επιστήμονας;
10.
Οι ακέραιοι από το 1 ως το 1000 τοποθετούνται με σειρά πάνω σε έναν κύκλο. Ξεκινώντας από το 1, υπογραμμίζουμε κάθε 15ο αριθμό (δηλαδή το 1, το 16, το 31 κτλ). Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται ώσπου να συναντήσουμε έναν αριθμό τον οποίο έχουμε ήδη υπογραμμίσει. Πόσοι αριθμοί τότε θα έχουν μείνει δίχως υπογράμμιση;
11.
Μεταξύ των ακεραίων 1 και 10000000000 ποιοι είναι πιο πολλοί, εκείνοι στους οποίους υπάρχει το ψηφίο 1 ή εκείνοι στους οποίους δεν υπάρχει;
12.
Αν γράψουμε διαδοχικά τους ακεραίους από το 1 ως το 222222222, πόσα μηδενικά θα γράψουμε συνολικά;
Εγγραφή σε:
Αναρτήσεις (Atom)
