1.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και έστω Μ το μέσο της ΑΓ. Στην προέκταση της ΒΜ, παίρνουμε σημείο Μ τέτοιο, ώστε ΖΜ=ΜΒ. Να αποδείξετε ότι ΑΖ=ΒΓ .
2.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ τέτοιο, ώστε ΑΓ=2ΑΒ. Αν ΑΔ διχοτόμος της γωνίας Α και Ε μέσο της ΑΓ, να αποδείξετε ότι:
(α) ΑΒ=ΑΕ,
(β) Το ΑΔ είναι κάθετο στο ΒΕ,
(γ) ΔΒ=ΔΕ .
3.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Προεκτείνουμε τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα τμήματα ΒΔ και ΓΕ αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι ΜΔ=ΜΕ .
4.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και Μ το μέσο της πλευράς ΒΓ. Στις προεκτάσεις των πλευρών ΒΑ και ΓΑ παίρνουμε σημεία Δ και Ε αντίστοιχα, τέτοια ώστε ΑΔ=ΑΕ. Αν Ζ είναι τυχαίο σημείο της ΑΜ, να αποδείξετε ότι η ΑΖ διχοτομεί τη γωνία ΕΖΔ.
5.
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και το ΑΔ ύψος του. Στις προεκτάσεις των ίσως πλευρών ΑΒ και ΑΓ παίρνουμε σημεία Ε και Ζ αντίστοιχα, τέτοια, ώστε ΒΕ=ΓΖ. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΕΔΖ είναι ισοσκελές.
6.
Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας Α. Από την κορυφή Β φέρουμε ΒΖ κάθετη προς την ΑΔ που τέμνει την ΑΓ στο Ε. Να αποδείξετε ότι η ΑΔ διχοτομεί τη γωνία ΒΔΕ.
7.
Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α: ορθή γωνία) και Μ το μέσο της ΒΓ. Προεκτείνουμε την ΑΜ κατά ΜΔ έτσι, ώστε ΜΔ=ΑΜ. Να αποδείξετε ότι:
(α) τα τρίγωνα ΜΒΔ και ΑΜΓ είναι ίσα,
(β) τα τρίγωνα ΜΔΓ και ΑΒΜ είναι ίσα,
(γ) τα ευθύγραμμα τμήματα ΒΔ και ΔΓ είναι κάθετα.
8.
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και ΑΔ το ύψος του. Προεκτείνουμε το ΑΔ κατά τμήμα ΔΕ ίσο με ΑΔ. Να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΒΕΓ είναι ίσα.
9.
Έστω τρίγωνο ΑΒΓ. Στην προέκταση της ΓΒ παίρνουμε σημείο Δ τέτοιο, ώστε ΒΔ=ΑΒ και στην προέκταση της ΒΓ σημείο Ε τέτοιο, ώστε ΓΕ=ΑΓ. Επιπλέον, οι διχοτόμοι των γωνιών ΑΒΔ και ΑΓΕ τέμνουν τις ΑΔ και ΑΕ στα σημεία Ζ και Θ αντίστοιχα.
(α)
Να αποδείξετε ότι οι ευθείες που ορίζουν τα Β,Ζ και τα Γ,Θ είναι μεσοκάθετες των ΑΔ και ΑΕ αντίστοιχα.
(β)
Αν Ι είναι το σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών ΑΒΔ και ΑΓΕ, τότε να αποδείξετε ότι:
(i) το τρίγωνο ΑΔΙ είναι ισοσκελές,
(ii) το τρίγωνο ΔΙΕ είναι ισοσκελές,
(iii) το ΙΑ διχοτομεί τη γωνία ΒΑΓ.
10.
Θεωρούμε κύκλο με κέντρο Κ. Από εξωτερικό σημείο Σ του κύκλου φέρουμε δύο ευθείες οι οποίες τέμνουν τον κύκλο στα σημεία Α,Β και Γ,Δ αντίστοιχα τέτοιες, ώστε ΣΒ=ΣΔ. Να αποδείξετε ότι:
(α) Η ΣΚ είναι διχοτόμος της ΔΣΒ,
(β) ΑΒ = ΓΔ,
(γ) ΣΑ = ΣΓ .
11.
Θεωρούμε κύκλο (Ο,ρ) και ίσες μη παράλληλες χορδές ΑΒ και ΓΔ, των οποίων η προεκτάσεις τέμνονται στο Μ. Αν ΟΚ και ΟΛ τα αποστήματα των χορδών ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι:
(α) ΑΚ = ΓΛ ,
(β) ΜΑ = ΜΓ και ΜΒ = ΜΔ ,
(γ) η ΜΟ είναι διχοτόμος της γωνίας ΑΜΓ,
(δ) η ευθεία που διέρχεται από τα Μ και Ο είναι μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΚΛ .
12.
Έστω κύκλος κέντρου Ο και ΑΒ, ΓΔ δύο ίσες και μη τεμνόμενες χορδές του. Έστω Μ και Ν σημεία στις χορδές ΑΒ και ΓΔ αντίστοιχα, τέτοια, ώστε ΑΜ=ΓΝ. Να αποδείξετε ότι ΟΜ=ΟΝ.
